Espaço Amostra

Suponha que um determinado município tenha 20 000 domicílios. Quantas maneiras distintas existem de selecionar uma amostra de 100 domicílios? Comecemos com exemplos bem simples de modo a se obter a resposta.

Considere as quatro primeiras letras do alfabeto: A, B, C e D. De quantas maneiras distintas podemos selecionar com reposição duas letras? Neste caso as amostras possíveis são AA, AB, AC, AD e assim sucessivamente. O primeiro elemento da amostra se seleciona de quatro maneiras diferentes e também o segundo elemento se seleciona entre quatro elementos possíveis, então o número possível de amostra de tamanho 2 é igual a 4 x 4 = 16.

Quando desejamos selecionar  amostras de tamanho 3, o número de amostras possíveis será: 4 x 4 x 4 = 64. De modo gera; quando se dispõe de n elementos, existem n^r maneiras possíveis de selecionar amostras de tamanho r. Observe que quando selecionamos duas letras levamos em consideração a ordem AB e BA, BC e CB, assim sucessivamente, o que significa que AB, BA são distintos ou seja, podem ser permutados.

Anteriormente fixamos a condição da amostra ser selecionada com reposição. Quando efetuamos a seleção sem reposição existem quatro maneiras possíveis de selecionar a primeira letra e 3 possibilidades de selecionar a segunda letra. Então o número de amostras possíveis de tamanho 2 selecionadas sem reposição é dado por 4 x 3 = 12, ou seja eliminamos da lista anterior as amostras cujos elementos estavam duplicados, mais especificamente AA, BB, CC e DD. Se desejarmos selecionar uma amostra de tamanho 3, sem reposição, o número de amostras possíveis é igual a 4 x 3 x 2 = 24.

Generalizando, quando se dispõe de n elementos e se selecionam amostras de tamanho r sem reposição, haverá portanto: n x (n-1) x (n-2) x ..............x (n-r-1) = (n)_r  amostras possíveis. 

Quando r = n é o caso em que se calcula de quantas formas diferentes se pode ordenar n elementos. De acordo com o resultado anterior temos: (n)_n = n x (n-1) x (n-2) x ..............x 2 x 1,  ou seja, fatorial de n que se representa por (n)_n = n! .

Por exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ;  4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Logo o número de ordenações diferentes de n elementos é n!. Se existem 3 letras, há 6 maneiras distintas de ordenações. Quando nos referimos a combinações não consideramos a ordem AB e BA que são duas ordenações da combinação AB.

Com base nesses conceitos podemos calcular o número de combinações de 4 letras (elementos) A, B, C e D quando selecionamos uma amostra de tamanho 3, sem reposição, e levamos em consideração a ordem de seleção. Cada amostra de tamanho 3, pode ser permutada (ordenada) de 3! maneiras distintas. Então, o número de amostras de tamanho 3, selecionadas sem reposição, quando não consideramos a ordem de cada amostra será:

.  As amostras possíveis são ABC, ABD, ACD e BCD.

De um modo geral, se dispomos de N elementos, existem  maneiras distintas de selecionar amostras de tamanho r sem reposição. Cada uma das amostras é uma combinação de r elementos diferentes  tendo r! ordenações distintas.

Logo,  dá o número de possibilidades de selecionar uma amostra de tamanho r de um conjunto com n elementos, sem reposição, quando não consideramos a ordem dentro da amostra.

Podemos representar simbolicamente por: , e definimos 0! (zero fatorial) = 1 e

Exemplo 1 – Se em uma turma existem 6 estudantes e desejamos formar uma equipe de futebol de salão, quantas maneiras existem de formar a equipe?

Existem,  , ou seja 6 maneiras diferentes para selecionar uma equipe com 5 estudantes.

Exemplo 2 – Um baralho possui  52 cartas. De quantas maneiras podemos selecionar, sem, reposição, 13 cartas.

Há aproximadamente uma possibilidade em 635 milhões de se selecionar um determinado grupo de cartas: .